Guarda il metodo.
Poi rifallo tu.

1. Individua i dati: Accessi giornalieri: 12, 15, 9, 14, 10.
2. Applica la regola: x̄ = Σxᵢ/n
3. La somma è 60; dividi 60 per 5.

Controllo: 12 × 5 restituisce la somma 60.

1. Individua i dati: Tempi: 4, 7, 5, 7, 9 minuti.
2. Applica la regola: Ordina i valori; mediana = valore centrale
3. Ordina: 4, 5, 7, 7, 9. Il centro è 7 e il valore più frequente è 7.

Controllo: Con cinque dati la mediana deve occupare la terza posizione.

1. Individua i dati: In 40 risposte, 14 studenti scelgono A.
2. Applica la regola: fᵣ = nᵢ/n
3. 14/40 = 0,35; moltiplica per 100.

Controllo: Le percentuali di tutte le categorie devono sommare a 100%.

1. Individua i dati: Un esame vale 40% con voto 24 e 60% con voto 29.
2. Applica la regola: x̄w = Σwᵢxᵢ/Σwᵢ
3. 0,40×24 + 0,60×29 = 9,6 + 17,4.

Controllo: I pesi sommano a 1 e il risultato è fra 24 e 29.

1. Individua i dati: Dati ordinati: 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12.
2. Applica la regola: Range=max−min; IQR=Q₃−Q₁
3. Range=12−2=10; Q₁=4, Q₃=10, quindi IQR=6.

Controllo: L’IQR usa il 50% centrale ed è minore del range.

1. Individua i dati: Produzioni: 2, 4, 6, 8.
2. Applica la regola: σ²=Σ(xᵢ−μ)²/n
3. μ=5; scarti quadratici 9,1,1,9: somma 20; 20/4=5.

Controllo: La somma degli scarti semplici dalla media è zero.

1. Individua i dati: Campione: 3, 5, 7.
2. Applica la regola: s²=Σ(xᵢ−x̄)²/(n−1)
3. x̄=5; somma scarti quadratici=8; dividi per 2.

Controllo: Per un campione il denominatore è n−1, non n.

1. Individua i dati: Media 80 e deviazione standard 12.
2. Applica la regola: CV = s/x̄ × 100
3. 12/80×100=15.

Controllo: Il CV è adimensionale e richiede una media positiva e significativa.

1. Individua i dati: Dati: 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 15.
2. Applica la regola: Q₂=mediana; Q₁/Q₃=mediane delle due metà
3. Q₂=(6+8)/2=7; Q₁=(3+4)/2=3,5; Q₃=(9+11)/2=10.

Controllo: Deve valere Q₁≤Q₂≤Q₃.

1. Individua i dati: Classi con punti medi 5, 15, 25 e frequenze 4, 3, 3.
2. Applica la regola: x̄≈Σmᵢnᵢ/Σnᵢ
3. 5×4+15×3+25×3=140; n=10.

Controllo: La stima cade tra il punto medio minimo e massimo.

1. Individua i dati: Gruppo A: n=20, media 24. Gruppo B: n=30, media 18.
2. Applica la regola: x̄=(n₁x̄₁+n₂x̄₂)/(n₁+n₂)
3. (20×24+30×18)/50=1020/50.

Controllo: Non è la media semplice 21 perché i gruppi hanno numerosità diverse.

1. Individua i dati: Per 5 valori, Σx=30 e Σx²=220.
2. Applica la regola: σ²=Σx²/n−μ²
3. μ=30/5=6; 220/5−36=44−36.

Controllo: La varianza non può essere negativa.

1. Individua i dati: Media 42, moda 36, deviazione standard 8.
2. Applica la regola: Sk=(media−moda)/s
3. (42−36)/8=0,75.

Controllo: Media maggiore della moda è coerente con una coda a destra.

1. Individua i dati: Una misura vale 92; media 70 e deviazione standard 8.
2. Applica la regola: z=(x−μ)/σ
3. (92−70)/8=2,75.

Controllo: Il valore è 2,75 deviazioni standard sopra la media.

1. Individua i dati: Quote ordinate: 10%, 20%, 30%, 40%.
2. Applica la regola: G=Σ(2i−n−1)xᵢ/(nΣxᵢ)
3. Pesi −3,−1,1,3: numeratore −30−20+30+120=100; denominatore 4×100=400.

Controllo: Il valore è compreso tra 0 (uguaglianza) e 1 (massima concentrazione).

1. Individua i dati: La probabilità di ritardo è 0,18.
2. Applica la regola: P(Aᶜ)=1−P(A)
3. 1−0,18=0,82.

Controllo: Evento e complementare sommano a 1.

1. Individua i dati: P(A)=0,25 e P(B)=0,35; A e B non possono avvenire insieme.
2. Applica la regola: P(A∪B)=P(A)+P(B)
3. 0,25+0,35=0,60.

Controllo: Per eventi incompatibili l’intersezione è zero.

1. Individua i dati: Da 6 candidati si scelgono 2 rappresentanti.
2. Applica la regola: C(n,k)=n!/[k!(n−k)!]
3. C(6,2)=6×5/2.

Controllo: L’ordine dei due rappresentanti non conta.

1. Individua i dati: P(A)=0,55, P(B)=0,40, P(A∩B)=0,20.
2. Applica la regola: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
3. 0,55+0,40−0,20=0,75.

Controllo: Sottrarre l’intersezione evita di contarla due volte.

1. Individua i dati: Su 120 persone, 48 usano un’app; 30 di queste pagano.
2. Applica la regola: P(A|B)=n(A∩B)/n(B)
3. 30/48=0,625.

Controllo: Il denominatore è il gruppo condizionante: 48.

1. Individua i dati: Un’urna ha 3 palline rosse e 2 blu. Due estrazioni con reinserimento.
2. Applica la regola: P(RR)=P(R)×P(R)
3. 3/5×3/5=9/25.

Controllo: Con reinserimento le probabilità restano uguali.

1. Individua i dati: Un’urna ha 4 verdi e 3 gialle. Si estraggono due palline.
2. Applica la regola: P(VV)=4/7×3/6
3. 12/42=2/7.

Controllo: La seconda probabilità cambia perché resta una pallina in meno.

1. Individua i dati: La parola MAMMA contiene tre M e due A.
2. Applica la regola: n!/(n₁!n₂!…)
3. 5!/(3!2!)=120/12.

Controllo: Dividere per le permutazioni delle tre M e delle due A.

1. Individua i dati: Il 60% arriva dal canale A con conversione 10%; il resto dal B con conversione 5%.
2. Applica la regola: P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)
3. 0,60×0,10+0,40×0,05=0,08.

Controllo: Il risultato è tra i tassi 5% e 10%.

1. Individua i dati: Tra 5 donne e 4 uomini si forma un comitato di 3 con almeno 2 donne.
2. Applica la regola: C(5,2)C(4,1)+C(5,3)
3. 10×4+10=50.

Controllo: I casi 2 donne e 3 donne sono disgiunti.

1. Individua i dati: A fornisce il 70% dei pezzi con difetti 2%; B il 30% con difetti 5%.
2. Applica la regola: P(B|D)=P(B)P(D|B)/P(D)
3. P(D)=0,7×0,02+0,3×0,05=0,029; 0,015/0,029.

Controllo: Pur fornendo meno pezzi, B pesa di più tra i difettosi.

1. Individua i dati: Prevalenza 4%, sensibilità 90%, falsi positivi 8%.
2. Applica la regola: P(M|+)=P(M)P(+|M)/P(+)
3. P(+)=0,04×0,90+0,96×0,08=0,1128; 0,036/0,1128.

Controllo: La bassa prevalenza rende molti positivi falsi.

1. Individua i dati: P(A)=0,4, P(B)=0,35, P(C)=0,3; intersezioni doppie 0,12, 0,10, 0,08; tripla 0,03.
2. Applica la regola: ΣP(singole)−ΣP(doppie)+P(tripla)
3. 1,05−0,30+0,03=0,78.

Controllo: La tripla va riaggiunta dopo essere stata sottratta tre volte.

1. Individua i dati: Il 40% sceglie piano Premium; tra questi il 75% rinnova.
2. Applica la regola: P(P∩R)=P(P)P(R|P)
3. 0,40×0,75=0,30.

Controllo: La probabilità congiunta non supera nessuna delle due probabilità marginali.

1. Individua i dati: P(A)=0,50, P(B)=0,30 e P(A∩B)=0,12.
2. Applica la regola: Indipendenza ⇔ P(A∩B)=P(A)P(B)
3. 0,50×0,30=0,15, diverso da 0,12.

Controllo: L’uguaglianza richiesta fallisce di 0,03.

1. Individua i dati: X vale 0, 1, 2 con probabilità 0,2; 0,5; 0,3.
2. Applica la regola: E(X)=Σx·p(x)
3. 0×0,2+1×0,5+2×0,3=1,1.

Controllo: Le probabilità sommano a 1.

1. Individua i dati: Un esito ha successo con probabilità 0,7.
2. Applica la regola: E(X)=p; Var(X)=p(1−p)
3. Media=0,7; varianza=0,7×0,3.

Controllo: La varianza Bernoulli non supera 0,25.

1. Individua i dati: Un dado equo assume valori da 1 a 6.
2. Applica la regola: E(X)=(a+b)/2
3. (1+6)/2=3,5.

Controllo: La media è il punto centrale degli estremi.

1. Individua i dati: 5 prove indipendenti, successo p=0,4.
2. Applica la regola: P(X=k)=C(n,k)pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ
3. C(5,2)0,4²0,6³=10×0,16×0,216.

Controllo: La probabilità è compresa tra 0 e 1.

1. Individua i dati: 4 prove indipendenti con p=0,2.
2. Applica la regola: P(X≥1)=1−P(X=0)
3. 1−0,8⁴=1−0,4096.

Controllo: Il complemento semplifica la somma di quattro casi.

1. Individua i dati: In media arrivano 3 richieste all’ora.
2. Applica la regola: P(X=0)=e⁻λ
3. e⁻³≈0,0498.

Controllo: Con λ=3, zero è possibile ma poco frequente.

1. Individua i dati: Il tasso è 8 eventi ogni 2 ore.
2. Applica la regola: λ(t)=tasso×durata
3. 4 eventi/ora ×0,75 ore=3.

Controllo: Il parametro scala linearmente con il tempo.

1. Individua i dati: X è normale con μ=50 e σ=5; osservi 58.
2. Applica la regola: z=(x−μ)/σ
3. (58−50)/5=1,6.

Controllo: Il valore è sopra la media, quindi z è positivo.

1. Individua i dati: Z è normale standard e Φ(1,28)=0,8997.
2. Applica la regola: P(Z>z)=1−Φ(z)
3. 1−0,8997=0,1003.

Controllo: Una soglia positiva alta lascia una coda piccola.

1. Individua i dati: X è uniforme tra 10 e 30.
2. Applica la regola: P(a≤X≤b)=(b−a)/(B−A)
3. (22−14)/(30−10)=8/20.

Controllo: La probabilità è il rapporto fra lunghezze.

1. Individua i dati: X~Bin(8,0,25).
2. Applica la regola: 1−P(0)−P(1)
3. 1−0,75⁸−8×0,25×0,75⁷≈1−0,1001−0,2670.

Controllo: Il complemento evita di sommare sette termini.

1. Individua i dati: La durata è esponenziale con media 10 minuti.
2. Applica la regola: P(X>s+t|X>s)=e⁻ᵗ/μ
3. Per assenza di memoria conta solo t=8: e⁻⁰·⁸.

Controllo: Il tempo già trascorso non modifica la probabilità residua.

1. Individua i dati: Pesi normali con μ=70, σ=8; z₀,₉₅=1,645.
2. Applica la regola: x=μ+zσ
3. 70+1,645×8=83,16.

Controllo: Solo il 5% dei valori è sopra questa soglia.

1. Individua i dati: X~N(100,15²).
2. Applica la regola: μ±1,96σ
3. 100±1,96×15=100±29,4.

Controllo: Gli estremi sono simmetrici rispetto a 100.

1. Individua i dati: E(X)=12, Var(X)=9 e Y=3X−2.
2. Applica la regola: E(aX+b)=aE(X)+b; Var(aX+b)=a²Var(X)
3. E(Y)=36−2=34; Var(Y)=9×9=81.

Controllo: La costante −2 cambia la media ma non la varianza.

1. Individua i dati: Deviazione standard campionaria 12 e n=36.
2. Applica la regola: SE=s/√n
3. 12/√36=12/6.

Controllo: Aumentando n, l’errore standard diminuisce.

1. Individua i dati: In un campione di 200 persone, 54 rispondono sì.
2. Applica la regola: p̂=x/n
3. 54/200=0,27.

Controllo: La stima è compresa tra 0 e 1.

1. Individua i dati: Uno stimatore T soddisfa E(T)=μ.
2. Applica la regola: Bias(T)=E(T)−μ
3. μ−μ=0.

Controllo: Non distorto non significa privo di variabilità.

1. Individua i dati: x̄=50, σ=10, n=100; confidenza 95%, z=1,96.
2. Applica la regola: x̄±zσ/√n
3. SE=1; margine=1,96.

Controllo: L’intervallo è centrato in 50.

1. Individua i dati: p̂=0,40, n=400; z=1,96.
2. Applica la regola: p̂±z√[p̂(1−p̂)/n]
3. SE=√(0,24/400)=0,0245; margine≈0,048.

Controllo: Entrambi gli estremi sono tra 0 e 1.

1. Individua i dati: σ=15, errore massimo 3, confidenza 95%.
2. Applica la regola: n=(zσ/E)²
3. (1,96×15/3)²=96,04; arrotonda sempre in eccesso.

Controllo: Arrotondare a 96 non garantirebbe il margine richiesto.

1. Individua i dati: Nessuna stima preliminare, errore 0,05, confidenza 95%.
2. Applica la regola: n=z²·0,25/E²
3. 1,96²×0,25/0,05²=384,16.

Controllo: p=0,5 massimizza la varianza e produce la scelta prudente.

1. Individua i dati: Stessi dati: confronta IC 90% (z=1,645) e 99% (z=2,576).
2. Applica la regola: Ampiezza=2z·SE
3. Poiché 2,576>1,645, il margine al 99% è maggiore.

Controllo: Più confidenza richiede un intervallo più largo.

1. Individua i dati: Campione n=16 da popolazione normale, σ ignota.
2. Applica la regola: t con gdl=n−1
3. σ è ignota e il campione è piccolo: usa t con 15 gdl.

Controllo: La deviazione standard è stimata dal campione.

1. Individua i dati: Popolazione μ=120, σ=18; campioni n=81.
2. Applica la regola: E(x̄)=μ; SD(x̄)=σ/√n
3. E=120; 18/9=2.

Controllo: La media campionaria è meno variabile dei singoli dati.

1. Individua i dati: n=10, x̄=32, s=6; t*=2,262.
2. Applica la regola: x̄±t*s/√n
3. Margine=2,262×6/√10≈4,29.

Controllo: L’intervallo è simmetrico attorno a 32.

1. Individua i dati: x̄₁−x̄₂=5; SE della differenza=2; z=1,96.
2. Applica la regola: d±z·SE(d)
3. 5±1,96×2=5±3,92.

Controllo: Lo zero è escluso dall’intervallo.

1. Individua i dati: IC per μ: 40±2 con SE=1.
2. Applica la regola: z*=margine/SE
3. 2/1=2, vicino a 1,96.

Controllo: La piccola differenza deriva dall’arrotondamento.

1. Individua i dati: Due medie indipendenti hanno varianze 4 e 9. T=0,6X̄₁+0,4X̄₂.
2. Applica la regola: Var(aX+bY)=a²Var(X)+b²Var(Y)
3. 0,6²×4+0,4²×9=1,44+1,44.

Controllo: L’indipendenza elimina il termine di covarianza.

1. Individua i dati: N=500, n=100, SE senza correzione=3.
2. Applica la regola: SEc=SE√[(N−n)/(N−1)]
3. 3√(400/499)≈3×0,895.

Controllo: Campionare il 20% senza reinserimento riduce l’incertezza.

1. Individua i dati: Quando X cresce, Y tende a diminuire.
2. Applica la regola: Segno concorde: +; discorde: −
3. Gli scarti hanno prevalentemente segno opposto.

Controllo: Il segno indica direzione, non intensità standardizzata.

1. Individua i dati: Per due variabili r=0,82.
2. Applica la regola: −1≤r≤1
3. Il segno è positivo e il valore è vicino a 1.

Controllo: Correlazione non implica causalità.

1. Individua i dati: Modello ŷ=12+3x; osservi x=5.
2. Applica la regola: ŷ=b₀+b₁x
3. 12+3×5=27.

Controllo: Sostituire x=5 nel modello restituisce la previsione.

1. Individua i dati: Modello vendite=40+2,5·pubblicità, in migliaia.
2. Applica la regola: Δŷ=b₁Δx
3. Per ogni unità in più di pubblicità, la previsione cresce di 2,5 unità.

Controllo: L’interpretazione vale nel campo osservato dei dati.

1. Individua i dati: Modello costo=18+4·ore.
2. Applica la regola: b₀=ŷ quando x=0
3. Ponendo ore=0, il costo previsto è 18.

Controllo: Ha senso pratico solo se x=0 è plausibile.

1. Individua i dati: Valore osservato y=52, valore previsto ŷ=47.
2. Applica la regola: e=y−ŷ
3. 52−47=5.

Controllo: Residuo positivo: il modello sottostima.

1. Individua i dati: In regressione semplice r=−0,70.
2. Applica la regola: R²=r²
3. (−0,70)²=0,49.

Controllo: Il quadrato perde il segno della relazione.

1. Individua i dati: Scarti di X: −2,0,2; scarti di Y: −3,1,2. Usa denominatore n.
2. Applica la regola: Cov=Σ[(x−x̄)(y−ȳ)]/n
3. Prodotti 6,0,4: somma 10; 10/3.

Controllo: Il valore positivo indica movimento concorde.

1. Individua i dati: Cov(X,Y)=12, sX=3, sY=5.
2. Applica la regola: r=Cov/(sX·sY)
3. 12/(3×5)=12/15.

Controllo: Il risultato è nell’intervallo [−1,1].

1. Individua i dati: n=4 e Σdᵢ²=2, senza ex aequo.
2. Applica la regola: ρ=1−6Σd²/[n(n²−1)]
3. 1−12/[4×15]=1−0,2.

Controllo: Piccole differenze di rango producono alta concordanza.

1. Individua i dati: x̄=4, ȳ=10, Sxy=30, Sxx=15.
2. Applica la regola: b₁=Sxy/Sxx; b₀=ȳ−b₁x̄
3. b₁=2; b₀=10−2×4=2.

Controllo: La retta passa per (x̄,ȳ)=(4,10).

1. Individua i dati: Modello salario=20+1,5·esperienza+0,8·formazione.
2. Applica la regola: Effetto parziale: variazione di ŷ a parità delle altre X
3. A esperienza costante, un’unità di formazione aggiunge 0,8 alla previsione.

Controllo: Non va confuso con una correlazione semplice.

1. Individua i dati: Due predittori hanno correlazione 0,97 e coefficienti instabili.
2. Applica la regola: Predittori quasi ridondanti ⇒ VIF elevato
3. L’informazione sovrapposta rende difficili gli effetti separati.

Controllo: Il modello può prevedere bene ma stimare male i singoli coefficienti.

1. Individua i dati: Vuoi stimare il risultato di una singola nuova persona, non la media del gruppo.
2. Applica la regola: Intervallo di previsione = incertezza media + errore individuale
3. Serve includere anche la variabilità residua individuale.

Controllo: È più ampio dell’intervallo di confidenza per la media.

1. Individua i dati: Togliendo un punto estremo, r passa da 0,88 a 0,35.
2. Applica la regola: Confronta misura con e senza osservazione
3. La relazione forte dipende in gran parte da una sola osservazione.

Controllo: Va indagato, non eliminato automaticamente.

1. Individua i dati: Vuoi verificare se la media differisce da 50.
2. Applica la regola: H₀:μ=μ₀; H₁:μ≠μ₀
3. Il verbo “differisce” richiede un’alternativa bilaterale.

Controllo: L’uguaglianza appartiene all’ipotesi nulla.

1. Individua i dati: p-value=0,032 e α=0,05.
2. Applica la regola: Rifiuta H₀ se p≤α
3. 0,032<0,05.

Controllo: La decisione non prova che H₁ sia certa.

1. Individua i dati: H₀ è vera ma viene rifiutata.
2. Applica la regola: Tipo I: rifiutare H₀ vera
3. La decisione positiva è falsa rispetto allo stato reale.

Controllo: La sua probabilità è controllata da α.

1. Individua i dati: H₀ è falsa ma non viene rifiutata.
2. Applica la regola: Tipo II: non rifiutare H₀ falsa
3. È una mancata rilevazione dell’effetto.

Controllo: La potenza del test è 1−β.

1. Individua i dati: x̄=104, μ₀=100, σ=12, n=36.
2. Applica la regola: z=(x̄−μ₀)/(σ/√n)
3. SE=12/6=2; z=4/2.

Controllo: Per test bilaterale al 5%, è appena oltre 1,96.

1. Individua i dati: x̄=21, μ₀=18, s=6, n=16.
2. Applica la regola: t=(x̄−μ₀)/(s/√n)
3. SE=6/4=1,5; t=3/1,5.

Controllo: σ ignota richiede la t di Student.

1. Individua i dati: p̂=0,56, p₀=0,50, n=400.
2. Applica la regola: z=(p̂−p₀)/√[p₀(1−p₀)/n]
3. SE₀=√(0,25/400)=0,025; z=0,06/0,025.

Controllo: Il SE del test usa p₀, non p̂.

1. Individua i dati: Differenze su 25 coppie: d̄=4, sD=10.
2. Applica la regola: t=d̄/(sD/√n)
3. SE=10/5=2; t=4/2.

Controllo: L’unità di analisi è la differenza nella coppia.

1. Individua i dati: Tabella: totale riga 60, totale colonna 40, totale 120.
2. Applica la regola: E=(totale riga×totale colonna)/totale
3. 60×40/120=20.

Controllo: Le attese di una riga sommano al totale di riga.

1. Individua i dati: Un risultato ha p=0,03.
2. Applica la regola: Rifiuta se p≤α
3. 0,03<0,05 ma 0,03>0,01.

Controllo: Una soglia più severa riduce i falsi positivi.

1. Individua i dati: Osservati 30 e 70; attesi 40 e 60.
2. Applica la regola: χ²=Σ(O−E)²/E
3. (−10)²/40+10²/60=2,5+1,667.

Controllo: Ogni contributo è non negativo.

1. Individua i dati: Gruppo 1: 60/100; gruppo 2: 45/100.
2. Applica la regola: z=(p̂₁−p̂₂)/√[p̂(1−p̂)(1/n₁+1/n₂)]
3. p̂=105/200=0,525; SE≈0,0706; z=0,15/0,0706.

Controllo: L’aggregata si usa sotto H₀ di uguaglianza.

1. Individua i dati: MS tra gruppi=48; MS entro gruppi=12.
2. Applica la regola: F=MSbetween/MSwithin
3. 48/12=4.

Controllo: F grande indica variabilità tra gruppi rispetto a quella interna.

1. Individua i dati: Effetto e α restano fissi; raddoppi la numerosità.
2. Applica la regola: Più n ⇒ SE minore ⇒ maggiore potenza
3. Un SE minore separa meglio H₀ dall’alternativa.

Controllo: L’aumento non è necessariamente lineare.

1. Individua i dati: Esegui 10 test e vuoi α familiare=0,05.
2. Applica la regola: α*=α/m
3. 0,05/10=0,005.

Controllo: La correzione controlla l’errore familiare ma è conservativa.

1. Traduci il testo e isola i dati: Corso A: media 24, s=3. Corso B: media 28, s=7.
2. Scegli il modello: CV=s/media×100
3. CVA=3/24=12,5%; CVB=7/28=25%.

Controllo: Il CV confronta dispersioni rispetto al livello medio.

1. Traduci il testo e isola i dati: Q1=12, Q3=20; un valore osservato è 34.
2. Scegli il modello: Limite sup.=Q3+1,5·IQR
3. IQR=8; limite=20+12=32; 34>32.

Controllo: Il limite inferiore sarebbe 12−12=0.

1. Traduci il testo e isola i dati: Valori 10, 20, 30 con frequenze 2, 5, 3.
2. Scegli il modello: x̄=Σxᵢnᵢ/Σnᵢ
3. (20+100+90)/10=210/10.

Controllo: La media deve cadere tra 10 e 30.

1. Traduci il testo e isola i dati: Un prezzo passa da 80 a 92.
2. Scegli il modello: I=p1/p0×100
3. 92/80×100=115.

Controllo: Indica una crescita del 15%.

1. Traduci il testo e isola i dati: Il 40% delle unità detiene il 15% della risorsa.
2. Scegli il modello: Scarto=quota unità−quota risorsa
3. 0,40−0,15=0,25.

Controllo: Sulla linea di equidistribuzione le due quote coincidono.

1. Traduci il testo e isola i dati: Tra 200 utenti, 80 sono giovani; 28 giovani acquistano.
2. Scegli il modello: P(A|G)=n(A∩G)/n(G)
3. 28/80=0,35.

Controllo: Il denominatore è il gruppo dei giovani.

1. Traduci il testo e isola i dati: P(A)=0,4, P(B)=0,25, P(A∩B)=0,10.
2. Scegli il modello: A⊥B se P(A∩B)=P(A)P(B)
3. 0,4×0,25=0,10, uguale all’intersezione.

Controllo: Anche P(A|B)=0,4.

1. Traduci il testo e isola i dati: Quote A/B/C: 50%/30%/20%; difetti: 1%/2%/4%.
2. Scegli il modello: P(C|D)=P(C)P(D|C)/P(D)
3. P(D)=0,005+0,006+0,008=0,019; 0,008/0,019.

Controllo: C produce solo il 20%, ma ha il tasso di difetto maggiore.

1. Traduci il testo e isola i dati: Si scelgono 3 persone da 4 donne e 5 uomini.
2. Scegli il modello: Totale−tutti uomini
3. C(9,3)−C(5,3)=84−10.

Controllo: Il complemento evita tre somme separate.

1. Traduci il testo e isola i dati: Due componenti indipendenti funzionano con probabilità 0,9 e 0,8; basta che uno funzioni.
2. Scegli il modello: 1−P(entrambi guasti)
3. 1−(0,1×0,2)=0,98.

Controllo: Un sistema parallelo fallisce solo se falliscono entrambi.

1. Traduci il testo e isola i dati: Popolazione μ=75, σ=16; campione n=64.
2. Scegli il modello: Z=(X̄−μ)/(σ/√n)
3. SE=2; z=(79−75)/2=2; coda=1−0,9772.

Controllo: La media campionaria varia meno dei singoli valori.

1. Traduci il testo e isola i dati: Tasso medio 6 chiamate/ora.
2. Scegli il modello: P(X=k)=e^-λ λ^k/k!
3. λ=3; P(2)=e^-3×9/2.

Controllo: Il parametro va adattato alla mezz’ora.

1. Traduci il testo e isola i dati: X~Bin(10,0,6).
2. Scegli il modello: P(X=n)=p^n
3. 0,6^10.

Controllo: Per dieci successi non compare il fattore (1−p).

1. Traduci il testo e isola i dati: X~N(40,6²), z0,975=1,96.
2. Scegli il modello: x=μ+zσ
3. 40+1,96×6=51,76.

Controllo: Il 2,5% rimane sopra la soglia.

1. Traduci il testo e isola i dati: E(X)=4, Var(X)=3; E(Y)=7, Var(Y)=5; X,Y indipendenti.
2. Scegli il modello: E somma=ΣE; Var somma=ΣVar
3. Media=4+7=11; varianza=3+5=8.

Controllo: Le varianze si sommano perché la covarianza è zero.

1. Traduci il testo e isola i dati: IC 95% per μ: [102;108]; valore ipotizzato 100.
2. Scegli il modello: Rifiuta H0 se μ0 è fuori dall’IC
3. 100 non appartiene a [102;108].

Controllo: Test e intervallo devono usare lo stesso livello.

1. Traduci il testo e isola i dati: p̂=0,50, n=625, z=1,96.
2. Scegli il modello: E=z√[p̂(1−p̂)/n]
3. 1,96√(0,25/625)=1,96×0,02.

Controllo: Il caso p̂=0,5 produce il margine massimo.

1. Traduci il testo e isola i dati: σ=20, margine 2, z=1,96.
2. Scegli il modello: n=(zσ/E)²
3. (1,96×20/2)²=384,16; arrotonda in alto.

Controllo: La numerosità deve essere intera e garantire il margine.

1. Traduci il testo e isola i dati: p̂1=0,62, p̂2=0,54; SE differenza=0,035.
2. Scegli il modello: d±1,96SE
3. d=0,08; margine=0,0686.

Controllo: Zero è escluso di poco.

1. Traduci il testo e isola i dati: Popolazione N=1000, campione n=250, SE non corretto=4.
2. Scegli il modello: SEc=SE√[(N−n)/(N−1)]
3. 4√(750/999)≈4×0,8664.

Controllo: La correzione riduce il SE quando la frazione campionaria è grande.

1. Traduci il testo e isola i dati: x̄=6, ȳ=20, Cov=12, Var(X)=8.
2. Scegli il modello: b=Cov/Var(X); a=ȳ−bx̄
3. b=1,5; a=20−9=11.

Controllo: La retta passa per (6,20).

1. Traduci il testo e isola i dati: SST=200 e SSE=50.
2. Scegli il modello: R²=1−SSE/SST
3. 1−50/200=0,75.

Controllo: Il modello lascia inspiegato il 25%.

1. Traduci il testo e isola i dati: Il modello è stimato per x tra 10 e 50; vuoi prevedere a x=120.
2. Scegli il modello: Extrapolazione oltre il dominio osservato
3. 120 è molto oltre il massimo 50.

Controllo: La relazione potrebbe cambiare fuori dall’intervallo osservato.

1. Traduci il testo e isola i dati: Consumo di gelati e scottature crescono insieme in estate.
2. Scegli il modello: Z influenza sia X sia Y
3. La temperatura/stagione aumenta entrambi.

Controllo: La correlazione diretta non dimostra causalità.

1. Traduci il testo e isola i dati: Residuo e=6 e stima della sua deviazione standard=2.
2. Scegli il modello: r=e/s(e)
3. 6/2=3.

Controllo: Un valore vicino a 3 merita un controllo diagnostico.

1. Traduci il testo e isola i dati: Statistica z=2,05; Φ(2,05)=0,9798.
2. Scegli il modello: p=2[1−Φ(|z|)]
3. 2×(1−0,9798)=0,0404.

Controllo: È significativo al 5%, non all’1%.

1. Traduci il testo e isola i dati: Per un test β=0,18.
2. Scegli il modello: Potenza=1−β
3. 1−0,18=0,82.

Controllo: È la probabilità di rilevare l’effetto specificato.

1. Traduci il testo e isola i dati: Osservati 30,20 / 10,40; attesi 20,30 / 20,30.
2. Scegli il modello: Σ(O−E)²/E
3. 100/20+100/30+100/20+100/30=16,667.

Controllo: Tutti i contributi sono non negativi.

1. Traduci il testo e isola i dati: Esegui 20 test con α familiare 0,05.
2. Scegli il modello: α*=α/m
3. 0,05/20=0,0025.

Controllo: È più severa di 0,05.

1. Traduci il testo e isola i dati: Test bilaterale: p=0,07; IC 95% della differenza include zero.
2. Scegli il modello: p>0,05 ⇔ valore nullo nell’IC
3. Entrambi i criteri portano a non rifiutare H0.

Controllo: Non rifiutare non significa provare l’assenza di effetto.